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Maxwell方程式

 
Maxwell方程式を微分型で書いたのが上の(eq.1.a)~(eq.1.d)です。時間tと位置xにおける物理量を表すため、従属変数はすべて時間と位置ベクトルの関数として表されます。
(eq.1.a)は磁力線が閉曲線であることを示しており、また右辺が0なので磁気単極子が存在しないことを表しています。(eq.1.b)は磁場の時間変化が電界の回転を発生(電磁誘導)させることを示しています。(eq.1.c)はある体積を見たとき、その表面から出る電束密度ベクトルが、内部に含まれる電荷密度に等しいことを表しています。(eq.1.a)と対比させると右辺の値が存在しますが、これは電荷単極子が存在することを意味しています。(eq.1.d)は電束密度の時間変化と電流密度が磁場の回転を発生することを意味しています。
この方程式系には四則演算と時間と空間に関する1回微分計算のみが含まれているため後述の離散化が容易です。またこれらの方程式から電磁波の波動方程式も導出できます。

 

コントロールボリュームと微分演算子

 
コントロールボリュームは物理量を観測する空間のことです。日本語では検査体積ですが、コントロールボリューム(CV)の方が一般的です。
Maxwell方程式はCVの電磁界特性を微分演算子を用いて記述したものです。微分演算子は数値解析やシミュレーションを行う場合、理解が必要です。厳密な意味での数学的定義の理解は後回しにして、その演算子が物理的に意味することを理解することが重要です。上記説明で∇・はCVの収支と紹介していますが発散の意味もあります。

 

微分と差分

 
微分の定義を数学で最初に学ぶのは高校生の頃です。その導入は時間-移動距離のグラフで平均変化率の極限が微分だという説明だった記憶があります。
シミュレーションでは反対に微分を差分(平均変化率)で置き換えて、コンピュータで計算できない微分を差分で近似しています。FDTD法は微分型のMaxwell方程式を離散化(差分近似)して、解析を行いますがこの基礎的な知識は高校生で一番最初に習った、平均変化率→微分の知識があれば十分理解できます。
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