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電磁波解析における金属の分散性近似

FDTD法は適用可能な周波数範囲が広く、THz~可視光~紫外全域でシミュレーションが可能です。さらに一度に複数周波数をシミュレーションでき、透過・反射などのスペクトルを効率よく求められるため、光学特性の解析に非常に向いています。
ただしFDTD法は支配方程式にマクスウェル方程式を用いていることから、シミュレーションに複素誘電率、複素透磁率の情報が必要です。 複素透磁率は可視光帯以上の周波数ではほぼ 1+j0 となるため無視できます。複素誘電率については、THz以下の周波数では物性を誘電率で基本的に表現しますが、THz以上の周波数では物性の表現に誘電率(ε)ではなく屈折率(n)を用いることが多くなります。これらの屈折率と誘電率は以下の関係式で結びつけられるため、屈折率の情報を使ってシミュレーションを行います。

εr'= n2 - k2
εr" = 2nk

また、金属は可視光帯で分散性を示すため、分散性の再現がシミュレーションには必要となります。 例えば電磁波解析ソフトKeyFDTDではDebye、Drude、Lorentzの分散モデルを組み合わせて分散性を近似しています。 分散モデルによる近似は解析事例に公開していますが光学特性をよく再現できています(金、銀、銅の可視光帯反射シミュレーション)
物質によっては分散性が異なるため、分散性の複雑さや解析したい周波数範囲にあわせて分散モデルを組み合わせ、パラメータを探索する必要があります。 そこで、本ページでは可視光~紫外で取り上げられることの多い金属について弊社の過去の知見から得られた分散モデルとパラメータの設定例を紹介します。

 

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    金の複素屈折率と分散モデルによる近似

    金(Au)は原子番号79の第11族の元素です。可視光帯で分散性があり、負の誘電率を持つ物質です。
    金は550nm付近から短波長の緑~青色は反射率が低下するため、黄~橙色に見えるいわゆる金色を示します。金を数十nmのナノ粒子に加工すると、プラズモン共鳴により特定波長を吸収してステンドグラスで知られるような黄色や赤、紫色といった色を示します。
    またナノスターやナノロッドといった球形状以外では、 可視~近赤外まで吸収ピークが変更できることが報告されています[1]

    金と分散モデルの複素屈折率
    金の複素屈折率と分散モデルによる近似

    分散モデル(Drude-Lorentz-Lorentz)

    分散モデルに与えたパラメータ一覧
    分散モデル 設定する係数 変数 数値
    共通 周波数∞の誘電率 ε 6.00
    Drudeモデル プラズマ角周波数[rad/sec] ωp1 1.40×1016
    衝突周波数[rad/sec] νc 9.80×1013
    Lorentzモデル 静電界の誘電率から周波数∞の誘電率を引いた値 ∆ε2 2.00
    ∆ε3 0.600
    共振周波数[rad/sec] ωp2 5.50×1015
    ωp3 4.30×1015
    減衰係数[rad/sec] δp2 2.20×1015
    δp3 8.17×1014

    電磁波解析ソフトにおける設定

    Gold/RefractiveIndex (FrequencyDispersion)
    Gold/EpsInf 6.00
    Gold/FrequencyDispersion(1) Drude
    Gold/OmegaP(1) 1.40e16
    Gold/OmegaNu(1) 9.80e13
    Gold/FrequencyDispersion(2) Lorentz
    Gold/DeltaEps(2) 2.00
    Gold/OmegaP(2) 5.50e15
    Gold/DeltaP(2) 2.20e15
    Gold/FrequencyDispersion(3) Lorentz
    Gold/DeltaEps(3) 0.600
    Gold/OmegaP(3) 4.30e15
    Gold/DeltaP(3) 8.17e14
    
    

    [1] Xuming Zhang et al.,"Plasmonic photocatalysis",Rep. Prog. Phys. 76 (2013) 

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    銀の複素屈折率と分散モデルによる近似

    銀(Ag)は原子番号47の第11族の元素です。可視光帯ではほぼ全域で反射率が高く、紫外域付近から反射率が低下するため、白に近い色を示します。銀の可視光~赤外域の物性はDrudeモデルで良く近似できます。
    銀はナノ粒子に加工すると他の金属より鋭いプラズモン共鳴を示すため、局在表面プラズモン共鳴や表面増強ラマン散乱に有効です。また、銀ナノ粒子は400~500nmにピークがあります。銀ナノ粒子は上記の光学特性の他に優れた熱・電気伝導性や殺菌力を持つため回路や抗菌剤などにも使用されます。

    銀と分散モデルの複素屈折率
    銀の複素屈折率と分散モデルによる近似

    分散モデル(Drude-Lorentz)

    銀の可視光物性における分散モデル

    分散モデルに与えたパラメータ一覧
    分散モデル 設定する係数 変数 数値
    共通 周波数∞の誘電率 ε 2.00
    Drudeモデル プラズマ角周波数[rad/sec] ωp1 1.30×1016
    衝突周波数[rad/sec] νc 7.36×1013
    Lorentzモデル 静電界の誘電率から周波数∞の誘電率を引いた値 ∆ε2 1.00
    共振周波数[rad/sec] ωp2 7.00×1015
    減衰係数[rad/sec] δp2 2.10×1015

    電磁波解析ソフトにおける設定

    Silver/RefractiveIndex (FrequencyDispersion)
    Silver/EpsInf 2.00
    Silver/FrequencyDispersion(1) Drude
    Silver/OmegaP(1) 1.30e16
    Silver/OmegaNu(1) 7.36e13
    Silver/FrequencyDispersion(2) Lorentz
    Silver/DeltaEps(2) 1.00
    Silver/OmegaP(2) 7.00e15
    Silver/DeltaP(2) 2.10e15
    
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    銅の複素屈折率と分散モデルによる近似

    銅(Cu)は原子番号29の第11族の元素です。赤~橙の色を多く反射し、600nm付近から反射率が低下します。金より長波長側で反射率が低下し始めるため、金より赤~橙よりの色を示します。屈折率の変化が複雑なため、多くの分散モデルを組み合わせて近似します。 ナノ粒子は回路パターンなどへ利用されています。銅と同じく導電性に優れる銀と比較して、耐マイグレーション特性や、低コストである点が優れていますが、酸化しやすいという欠点を抱えています。

    銅と分散モデルの複素屈折率
    銅の複素屈折率と分散モデルによる近似

    分散モデル(Drude-Lorentz-Lorentz-Lorentz)

    銅の可視光物性における分散モデル

    分散モデルに与えたパラメータ一覧
    分散モデル 設定する係数 変数 数値
    共通 周波数∞の誘電率 ε 2.00
    Drudeモデル プラズマ角周波数[rad/sec] ωp1 1.32×1016
    衝突周波数[rad/sec] νc 5.28×1013
    Lorentzモデル 静電界の誘電率から周波数∞の誘電率を引いた値 ∆ε2 2.00
    ∆ε3 3.00
    ∆ε4 0.20
    共振周波数[rad/sec] ωp2 8.00×1015
    ωp3 4.50×1015
    ωp4 3.60×1015
    減衰係数[rad/sec] δp2 3.25×1015
    δp3 3.15×1015
    δp4 3.60×1014

    電磁波解析ソフトにおける設定

    Copper/RefractiveIndex (FrequencyDispersion)
    Copper/EpsInf 2
    Copper/FrequencyDispersion(1) Drude
    Copper/OmegaP(1) 1.32E+16
    Copper/OmegaNu(1) 5.28+13
    Copper/FrequencyDispersion(2) Lorentz
    Copper/DeltaEps(2) 2.00
    Copper/OmegaP(2) 8.00E+15
    Copper/DeltaP(2) 3.20E+15
    Copper/FrequencyDispersion(3) Lorentz
    Copper/DeltaEps(3) 3.00
    Copper/OmegaP(3) 4.50E+15
    Copper/DeltaP(3) 3.15E+15
    Copper/FrequencyDispersion(4) Lorentz
    Copper/DeltaEps(4) 0.2
    Copper/OmegaP(4) 3.60E+15
    Copper/DeltaP(4) 3.60E+14
    
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    ニッケルの複素屈折率と分散モデルによる近似

    ニッケル(Ni)は原子番号28の第10族の元素です。銀白色の光沢ある色を示します。クロムなどと一緒に合金としてステンレス鋼によく使用されます。可視光全体で60%前後の反射率で、全体をDrudeモデル、波長200ー400nmの変曲点をLorentzモデルで物性値を精度よく再現できます。純ニッケルや酸化ニッケルのナノ粒子が触媒としてよく用いられるほか、磁性材料であるため、プラズモン共鳴と磁気的特性を併せ持った光アンテナなどへの応用が研究されています。

    ニッケルと分散モデルの複素屈折率
    ニッケルの複素屈折率と分散モデルによる近似

    分散モデル(Drude-Lorentz)

    ニッケルの可視光物性における分散モデル

    分散モデルに与えたパラメータ一覧
    分散モデル 設定する係数 変数 数値
    共通 周波数∞の誘電率 ε 2.00
    Drudeモデル プラズマ角周波数[rad/sec] ωp1 1.60×1016
    衝突周波数[rad/sec] νc 3.04×1015
    Lorentzモデル 静電界の誘電率から周波数∞の誘電率を引いた値 ∆ε2 2.00
    共振周波数[rad/sec] ωp2 7.20×1016
    減衰係数[rad/sec] δp2 2.88×1015

    電磁波解析ソフトにおける設定

    
    Nickel/RefractiveIndex (FrequencyDispersion)
    Nickel/EpsInf 2
    Nickel/FrequencyDispersion(1) Drude
    Nickel/OmegaP(1) 1.60E+16
    Nickel/OmegaNu(1) 3.04+13
    Nickel/FrequencyDispersion(2) Lorentz
    Nickel/DeltaEps(2) 2.00
    Nickel/OmegaP(2) 7.20E+15
    Nickel/DeltaP(2) 2.88E+15
    
    
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    アルミニウムの複素屈折率と分散モデルによる近似

    アルミニウム(Al)は原子番号13の第13族の元素です。銀白色の光沢ある色を示します。軽量かつ加工性が高いため広い用途に使用されています。アルミニウムはプラズモンの共鳴周波数が紫外域に存在するため、紫外プラズモニクスの材料として期待されています。また、産出量が多く安価な金属であることから貴金属ナノ粒子等の代替利用が研究されています。ただし、プラズモン性能に影響を及ぼす酸化膜を形成しやすい欠点があります。

    アルミニウムと分散モデルの複素屈折率
    アルミニウムの複素屈折率と分散モデルによる近似

    分散モデル(Drude-Lorentz)

    アルミニウムの可視光物性における分散モデル

    分散モデルに与えたパラメータ一覧
    分散モデル 設定する係数 変数 数値
    共通 周波数∞の誘電率 ε 1.00
    Drudeモデル プラズマ角周波数[rad/sec] ωp1 2.35×1016
    衝突周波数[rad/sec] νc 1.18×1015
    Lorentzモデル 静電界の誘電率から周波数∞の誘電率を引いた値 ∆ε2 1.00
    共振周波数[rad/sec] ωp2 2.35×1015
    減衰係数[rad/sec] δp2 4.70×1014

    電磁波解析ソフトにおける設定

    Aluminium/RefractiveIndex (FrequencyDispersion)
    Aluminium/EpsInf 1.00
    Aluminium/FrequencyDispersion(1) Drude
    Aluminium/OmegaP(1) 2.35E+16
    Aluminium/OmegaNu(1) 1.18+13
    Aluminium/FrequencyDispersion(2) Lorentz
    Aluminium/DeltaEps(2) 1.00
    Aluminium/OmegaP(2) 2.35E+15
    Aluminium/DeltaP(2) 4.70E+14
    
    
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    ロジウムの複素屈折率と分散モデルによる近似

    ロジウム(Rh)は原子番号45の第9族の元素です。銀白色の光沢ある色を示します。自動車のエンジンから排出されるNOxなどの除去に使用される三元触媒が代表的な利用例です。ロジウムはプラズモンの共鳴周波数が紫外域にあるため、紫外プラズモニクスの材料として期待されています。また、酸化膜を形成しないためプラズモン特性に優れます。産出量が非常に少なく、高価であるという欠点がありますが、触媒としての性能向上も含め、ナノ粒子の研究が盛んに進められています。

    ロジウムと分散モデルの複素屈折率
    ロジウムの複素屈折率と分散モデルによる近似

    分散モデル(Drude-Lorentz-Lorentz)

    ロジウムの可視光物性における分散モデル

    分散モデルに与えたパラメータ一覧
    分散モデル 設定する係数 変数 数値
    共通 周波数∞の誘電率 ε 1.00
    Drudeモデル プラズマ角周波数[rad/sec] ωp1 2.05×1016
    衝突周波数[rad/sec] νc 2.05×1015
    Lorentzモデル 静電界の誘電率から周波数∞の誘電率を引いた値 ∆ε2 1.00
    ∆ε3 2.50
    共振周波数[rad/sec] ωp2 1.20×1016
    ωp3 4.30×1015
    減衰係数[rad/sec] δp2 7.20×1015
    δp3 2.15×1015

    電磁波解析ソフトにおける設定

    
    Rhodium/RefractiveIndex (FrequencyDispersion)
    Rhodium/EpsInf 1.00
    Rhodium/FrequencyDispersion(1) Drude
    Rhodium/OmegaP(1) 2.05E+16
    Rhodium/OmegaNu(1) 2.05E+15
    Rhodium/FrequencyDispersion(2) Lorentz
    Rhodium/DeltaEps(2) 1.00
    Rhodium/OmegaP(2) 1.20E+16
    Rhodium/DeltaP(2) 7.20E+15
    Rhodium/FrequencyDispersion(3) Lorentz
    Rhodium/DeltaEps(3) 2.50
    Rhodium/OmegaP(3) 4.30E+15
    Rhodium/DeltaP(3) 2.15E+15
    
    
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    白金の複素屈折率と分散モデルによる近似

    白金(Pt)は原子番号78の第10族の元素です。銀白色の光沢ある色を示します。科学的に安定で耐食性に優れているほか、触媒として高い活性を持っているため、工業や医療で触媒として多く使用されます。ナノ粒子にした場合は形状によらず紫外域でプラズモン共鳴を示します。単体ではプラズモン共鳴があまり強くないため、金など他の金属との合金などが研究されています。 また、白金表面と吸着する分子種の相互作用を測定できれば、触媒反応の機構解明や高活性触媒の開発に役立つため、表面増強ラマン分光法(SERS)に対して不活性な白金表面でのSERS測定感度向上の研究が行なわれています[1]

    白金と分散モデルの複素屈折率
    白金の複素屈折率と分散モデルによる近似

    分散モデル(Drude-Lorentz-Lorentz)

    白金の可視光物性における分散モデル

    分散モデルに与えたパラメータ一覧
    分散モデル 設定する係数 変数 数値
    共通 周波数∞の誘電率 ε 5.00
    Drudeモデル プラズマ角周波数[rad/sec] ωp1 2.10×1016
    衝突周波数[rad/sec] νc 3.15×1014
    Lorentzモデル 静電界の誘電率から周波数∞の誘電率を引いた値 ∆ε2 2.00
    ∆ε3 2.50
    共振周波数[rad/sec] ωp2 5.50×1015
    ωp3 9.00×1015
    減衰係数[rad/sec] δp2 1.65×1015
    δp3 6.30×1015

    電磁波解析ソフトにおける設定

    
    Platinum/RefractiveIndex (FrequencyDispersion)
    Platinum/EpsInf 5.00
    Platinum/FrequencyDispersion(1) Drude
    Platinum/OmegaP(1) 2.10E+16
    Platinum/OmegaNu(1) 3.15E+14
    Platinum/FrequencyDispersion(2) Lorentz
    Platinum/DeltaEps(2) 2.00
    Platinum/OmegaP(2) 5.50E+15
    Platinum/DeltaP(2) 1.65E+15
    Platinum/FrequencyDispersion(3) Lorentz
    Platinum/DeltaEps(3) 2.50
    Platinum/OmegaP(3) 9.00E+15
    Platinum/DeltaP(3) 6.30E+15
    
    

    [1] Katsuyoshi Ikeda ,"MOLECULAR SCIENCE",Mol. Sci. 5, A0040 (2011) 

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    パラジウムの複素屈折率と分散モデルによる近似

    パラジウム(Pd)は原子番号46の第10族の元素です。銀白色の光沢ある色を示します。白金(Pt)に似た性質をもつ、ルテニウム(Ru)、ロジウム(Rh)、オスミウム(Os)、イリジウム(Ir)とあわせて白金族と呼ばれます。パラジウムは金属としては高い融点、密度ですが、白金族の中では最も低い値です。触媒として高い活性を持っており、工業や医療などに多く利用されます。水素(H)を特に吸収しやすいため、表面プラズモン共鳴(SPR)を利用した水素ガスセンサーが利用例として挙げられます。

    パラジウムと分散モデルの複素屈折率
    パラジウムの複素屈折率と分散モデルによる近似

    分散モデル(Drude-Lorentz-Lorentz)

    パラジウムの可視光物性における分散モデル

    分散モデルに与えたパラメータ一覧
    分散モデル 設定する係数 変数 数値
    共通 周波数∞の誘電率 ε 1.00
    Drudeモデル プラズマ角周波数[rad/sec] ωp1 1.70×1016
    衝突周波数[rad/sec] νc 2.55×1015
    Lorentzモデル 静電界の誘電率から周波数∞の誘電率を引いた値 ∆ε2 1.50
    ∆ε3 0.600
    共振周波数[rad/sec] ωp2 7.50×1015
    ωp3 1.20×1016
    減衰係数[rad/sec] δp2 5.25×1015
    δp3 3.60×1015

    電磁波解析ソフトにおける設定

    
    Palladium/RefractiveIndex (FrequencyDispersion)
    Palladium/EpsInf 1.00
    Palladium/FrequencyDispersion(1) Drude
    Palladium/OmegaP(1) 1.70E+16
    Palladium/OmegaNu(1) 2.55E+15
    Palladium/FrequencyDispersion(2) Lorentz
    Palladium/DeltaEps(2) 1.50
    Palladium/OmegaP(2) 7.50E+15
    Palladium/DeltaP(2) 5.25E+15
    Palladium/FrequencyDispersion(3) Lorentz
    Palladium/DeltaEps(3) 0.600
    Palladium/OmegaP(3) 1.20E+16
    Palladium/DeltaP(3) 3.60E+15
    
    

 

※分散モデルの複素屈折率について
分散モデルの複素屈折率は、分散モデルで近似した複素誘電率を以下の式で複素屈折率n、kに変換しています。

複素誘電率と複素屈折率の変換式

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